Прямокутник

 ПРЯМОКУТНИК, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ОЗНАКИ ПРЯМОКУТНИКА.

Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі (мал. 242).

Розглянемо властивості прямокутника:

1) У прямокутнику протилежні сторони попарно рівні.

На малюнку 242: АВ = СD, АD = ВС.

2) Периметр прямокутника РАВ CD = 2(АВ + ВС).

3) Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться пополам.

На малюнку 243: АС = ВD і АО = ОС, ВО = DО. Оскільки АС = ВD, то матимемо АО = ВО = СО = DО. Тому маємо наступну властивість.

4) Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

Приклад 1. Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 4:5. Знайдіть кут між діагоналями даного прямокутника.

Розв’язання. 

1) (мал. 243). Нехай  АDО :  ОDС = 4 : 5. Позначимо  АDО = 4х,  ОDС = 5х. Тоді 4х + 5х = 90°; х = 10°. Тому  АDО = 4 ∙ 10° = 40°;  ОDС = 5 ∙ 10° = 50°.

2) ∆ОСD - рівнобедрений (бо ОD = ОС). Тому  ОСD =  ОDС = 50°. У ∆ОСD:  ОСD = 180° - 2 ∙ 50° = 80°. Отже, кут між діагоналями даного прямокутника дорівнює 80°.

Приклад 2. У прямокутнику АВСD діагоналі перетинаються в точці О. ОР - бісектриса трикутника АОВ,  DОР = 160°. Знайдіть  САВ.

Розв’язання (мал. 244).

1)  РОВ = 180° - 160° = 20°.

2) Оскільки ОР - бісектриса ∆АОВ, то  ВОА = 2 ∙ 20° = 40°.

3) ∆АОВ - рівнобедрений (бо АО = ОВ), тому

Ознаки прямокутника :

Якщо у паралелограма:

1) всі кути рівні, або

2) один кут прямий, або

3) діагоналі рівні, то паралелограм є прямокутником.

Приклад. 

У колі з центром О проведено діаметри АС і ВD (мал. 246). Визначте вид чотирикутника АВСD.

Розв’язання. 

1) Оскільки АО = ОС, ВО = ОD (як радіуси), то, за ознаками паралелограма, маємо, що АВСD - паралелограм.

2) Оскільки АС = ВD (як діаметри), то використовуючи ознаку прямокутника, маємо, що паралелограм АВСD є прямокутником.