Приклади завдань

  Задачі з теми чотирикутники:

Задача 1. 

Периметр паралелограма дорівнює 122 см. Одна з його сторін більша, ніж друга, на 25 см. Знайти сторони паралелограма.

Розв'язання.

За теоремою [у паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні і сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°] протилежні сторони паралелограма рівні. Позначимо одну сторону паралелограма через х, другу - через у. За умовою

Розв'язуючи цю систему, одержимо x = 43, у = 18. Таким чином, сторони паралелограма дорівнюють 18, 43, 18 і 43 см.

Задача 2. 

Чотирикутник ABCD - паралелограм з периметром 10 см. Знайти діагональ BD, якщо периметр трикутника ABD дорівнює 8 см.

Розв'язання. 

Нехай умові задачі відповідає рис. 1. Позначимо AB через x, а ВС через у.

За умовою периметр паралелограма дорівнює 10 см, тобто

2(х + у) = 10, або x + y = 5.

Периметр трикутника ABD дорівнює 8 см.

Оскільки:

АВ + AD = x + y = 5,

то BD = 8 - 5 = 3.

Отже, BD = 3 см.

Задача 3. 

Знайти кути паралелограма, якщо відомо, що один із них більший від другого на 50°.

Розв'язання. 

Нехай умові задачі відповідає рисунок 2.

Позначимо градусну міру кута А через х. Тоді градусна міра кута D дорівнює х + 50°.

Кути BAD і ADC внутрішні односторонні при паралельних прямих АВ і DC січній AD. Тоді сума цих кутів дорівнюватиме 180°, тобто

х + х + 50° = 180°, або х = 65°.

Таким чином,

∠A = ∠C = 65°, а ∠B = ∠D = 115°.

Задача 4. 

Сторони паралелограма дорівнюють 4,5 дм і 1,2 дм. 3 вершини гострого кута проведено бісектрису. На які частини вона ділить більшу сторону паралелограма?

Розв'язання. 

Нехай умові задачі відповідає рисунок Рис. 3.

АЕ - бісектриса гострого кута паралелограма. Значить, ∠ 1 = ∠ 2.

ВС II AD, AE - січна, отже, ∠ 2 = ∠ 3, тобто ∠ 1 = ∠ 3. А це означає, що трикутник ABE рівнобедрений, значить, АВ = BЕ = = 1,2 дм.

ЕС = BС - BЕ = 3,3 дм.

Задача 5. 

Пряма АВ паралельна прямій CD (рис. 4). Знайти відстань між цими прямими, якщо ∠ADC = 45°, CD = = 1,6 см.

Розв'язання.

Шукана відстань дорівнює довжині перпендикуляра АС. Трикутник ACD - прямокутний і рівнобедрений (АС - перпендикуляр, ∠ADC = 45° за умовою), отже, і ∠CAD = 45°, бо у прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°. Значить, АС = CD = 1,6 см.